ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ – ลำดับตัวเลข สูตรก้าวหน้า

สิ่งสำคัญคือต้องระวังคำว่า "ความก้าวหน้า" เนื่องจากเป็นคำที่ซับซ้อนมากในคณิตศาสตร์ทุกสาขา และตอนนี้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคืองานของหมอแท็กซี่ (พวกเขาเสียกลิ่นไปแล้ว) และการเข้าใจแก่นแท้ (และไม่มีอะไรสำคัญในคณิตศาสตร์มากไปกว่า "การเข้าใจแก่นแท้") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะเข้าใจ เมื่อคุณได้เรียนรู้สิ่งพื้นฐานบางอย่างแล้ว

ลำดับตัวเลขทางคณิตศาสตร์

ลำดับตัวเลขมักเรียกว่าชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีตัวเลข

และ 1 เป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ

และ 2 เป็นสมาชิกอีกตัวหนึ่งของลำดับ

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ

และ n เป็นสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ

โปรดแจ้งให้เราทราบหากมีชุดตัวเลขและตัวเลขเพียงพอ ความเคารพของเรามุ่งเน้นไปที่ลำดับตัวเลข ซึ่งค่าของเทอมที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับ ซึ่งสามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของตัวเลขที่ n เป็นฟังก์ชันของ n

ก - ค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข

n – หมายเลขซีเรียล;

f(n) เป็นฟังก์ชันที่เลขลำดับของลำดับตัวเลข n เป็นอาร์กิวเมนต์

วิซนาเชนเนีย

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักเรียกว่าลำดับตัวเลขโดยที่จำนวนเดียวกันมากกว่า (น้อยกว่า) กว่าลำดับก่อนหน้า สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิตมีลักษณะดังนี้:

n – ค่าของระยะการไหลของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n+1 เป็นสูตรสำหรับจำนวนที่น่ารังเกียจ

d - ศักดิ์สิทธิ์ (หมายเลขบทสวด)

ไม่สำคัญว่าความแตกต่างจะเป็นบวก (d>0) สมาชิกข้างหน้าของอนุกรมที่วิเคราะห์จะมีขนาดใหญ่กว่าชุดก่อนหน้าและความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มมากขึ้น

จากกราฟด้านล่าง ไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าเหตุใดลำดับตัวเลขจึงเรียกว่า "กำลังเติบโต"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (ง<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

มูลค่าของสมาชิกที่กำหนด

บางครั้งจำเป็นต้องกำหนดค่าของเทอมที่มีนัยสำคัญของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีความเป็นไปได้ที่จะแยกย่อยความหมายของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับโดยเริ่มจากสมาชิกคนแรกไปยังสมาชิกถัดไป อย่างไรก็ตาม เส้นทางดังกล่าวไม่ได้รับการยอมรับเสมอไป เนื่องจากจำเป็นต้องทราบมูลค่าของสมาชิกคนที่ห้าพันหรือแปดล้านคน การเลิกราแบบเดิมๆ จะกินเวลานานหลายชั่วโมง อย่างไรก็ตาม ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงสามารถนำมาใช้ร่วมกับสูตรการสวดมนต์ได้ นี่คือสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของเทอมใดๆ ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถคำนวณได้เป็นผลรวมของเทอมแรกของการก้าวหน้าด้วยผลต่างของการก้าวหน้า คูณด้วยจำนวนของเทอมถัดไป เปลี่ยนแปลงด้วย 1 .

สูตรนี้เป็นสูตรสากลสำหรับการเติบโตและความก้าวหน้าที่ลดลง

Butt rozrakhunku ความหมายของสมาชิกที่กำหนด

ขั้นตอนต่อไปคือการกำหนดค่าของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

Umova: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

สมาชิกตัวแรกของลำดับมีอายุมากกว่า 3;

ผลต่างในชุดตัวเลขเท่ากับ 1.2

คำสั่ง: คุณต้องรู้ความหมายของสมาชิก 214 คน

วิธีแก้ไข: เพื่อกำหนดค่าของคำที่กำหนด ให้ใช้สูตร:

ก(n) = a1 + ง(n-1)

ได้นำเสนอข้อมูลจากจิตใจของชายชราว่า

ก(214) = ก1 + ง(n-1)

ก(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

ลำดับ: 214 สมาชิกของลำดับเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการจัดเรียงนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลามากกว่า 2 แถวเล็กน้อย

จำนวนสมาชิกตามจำนวนที่กำหนด

บ่อยครั้งมากในชุดเลขคณิตที่กำหนดจำเป็นต้องคำนวณผลรวมของค่าของส่วนนั้น ซึ่งไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของส่วนประกอบสกินแล้วบวกเข้าด้วยกัน วิธีนี้ทำได้ยากเนื่องจากจำนวนสมาชิกที่ต้องทราบมีน้อย ในสถานการณ์อื่นๆ การใช้สูตรนี้อย่างรวดเร็วจะง่ายกว่า

ผลรวมของเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของเทอมที่หนึ่งและเทอมที่ n คูณด้วยจำนวนเทอม n แล้วหารด้วยสอง หากในสูตรค่าของเทอมที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความก็จะถูกปฏิเสธ:

ชน โรซราฮุนกู

ตัวอย่างเช่น เราสามารถแก้ไขปัญหาด้วยจิตใจปัจจุบันของเรา:

สมาชิกตัวแรกของลำดับมีค่าเท่ากับศูนย์

ส่วนต่างเท่ากับ 0.5

คุณต้องคำนวณผลรวมของคำศัพท์ในชุดตั้งแต่ 56 ถึง 101

การตัดสินใจ. สูตรด่วนสำหรับการคำนวณจำนวนความคืบหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

จากจุดเริ่มต้น ค่าของความก้าวหน้า 101 เทอมมีความสำคัญ โดยแทนที่ข้อมูลจากจิตใจของอาจารย์ของเราเป็นสูตร:

วินาที 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2525

แน่นอนว่าในการหาผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าตั้งแต่วันที่ 56 ถึง 101 จำเป็นต้องเลือก S 55 จาก S 101

วินาที 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้น ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้:

ส 101 - ส 55 = 2525 - 742.5 = 1,782.5

ก้นของความซบเซาในทางปฏิบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างลำดับเลขคณิตที่ระบุในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะทาง (คนขับแท็กซี่) มาดูก้นอันนี้กัน

การขึ้นแท็กซี่ (ระยะทาง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรที่เดินทางจะได้รับเงินในอัตรา 22 รูเบิล / กม. ขึ้นไปตามถนนอีก 30 กม. ขยายราคาในราคาที่สูงขึ้น

1. สามารถเดินทางได้ 3 กม. แรก โดยราคาดังกล่าวจะรวมไว้ ณ เวลาที่ขึ้นเครื่องแล้ว

30 – 3 = 27 กม.

2. การพัฒนาเพิ่มเติมนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการวิเคราะห์ชุดเลขคณิต

หมายเลขสมาชิก – จำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม

สมาชิกคนแรกของปัญหานี้มีราคาแพงกว่า: a 1 = 50 รูเบิล

อัตราความก้าวหน้า d = 22 rub

บอกตัวเลข - ค่าเทอมที่ (27 +1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - ค่าอ่านของแพทย์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 - 27.999 ... = 28 กม.

ก 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

การใช้สูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขเหล่านี้และลำดับตัวเลขอื่น ๆ จำเป็นต้องแบ่งข้อมูลปฏิทินออกเป็นระยะที่สะดวกมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในทางดาราศาสตร์ ตำแหน่งทางเรขาคณิตตั้งแต่ความสูงของเทห์ฟากฟ้าจนถึงแสงถือเป็นจุดสิ้นสุดของวงโคจร นอกจากนี้ ชุดตัวเลขต่างๆ ยังสามารถนำมาใช้ในสถิติและสาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ ได้สำเร็จอีกด้วย

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นมีอัตราการเปลี่ยนแปลงที่สูงกว่าซึ่งเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่เรื่องแปลกในการเมือง สังคมวิทยา การแพทย์ ที่จะแสดงความเร็วที่ยิ่งใหญ่ของการขยายตัวของปรากฏการณ์ใด ๆ เช่น การเจ็บป่วยในระหว่างการแพร่ระบาด ดูเหมือนว่ากระบวนการกำลังพัฒนาเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สมาชิกลำดับที่ N ของชุดตัวเลขเรขาคณิตเพิ่มขึ้นจากชุดแรก เพื่อให้สามารถคูณด้วยจำนวนคงที่ใดๆ ได้ - ตัวระบุ เช่น สมาชิกตัวแรกเท่ากับ 1 ตัวระบุเท่ากับ 2 จากนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

bn – ค่าของเทอมการไหลของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

bn+1 - สูตรสำหรับระยะที่เพิ่มขึ้นของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q คือสัญลักษณ์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

แม้ว่ากราฟความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็นเส้นตรง แต่กราฟเรขาคณิตกลับให้ภาพที่แตกต่างออกไปมาก:

เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะให้สูตรสำหรับค่าของเทอมที่มีนัยสำคัญ เทอมที่ n ใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือการบวกเทอมแรกเข้ากับเครื่องหมายของความก้าวหน้าในขั้นตอนที่ n ที่เปลี่ยนแปลงไปทีละ 1:

ก้น เราสามารถมีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้โดยมีเทอมแรกเท่ากับ 3 และเครื่องหมายความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 เรารู้ระยะที่ 5 ของความก้าวหน้า

ข 5 = ข 1 ∙ คิว (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

จำนวนเงินตามจำนวนสมาชิกที่กำหนดได้รับการประกันโดยใช้สูตรพิเศษเพิ่มเติม ผลรวมของระยะที่ n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือความแตกต่างทางประวัติศาสตร์ของระยะที่ n ของความก้าวหน้าสำหรับสัญญาณแรกของความก้าวหน้า หารด้วยการเปลี่ยนแปลงต่อหนึ่งสัญญาณ:

หากเราแทนที่ b n ด้วยสูตรที่เราดูไปแล้ว ค่าของผลรวมของเทอม n แรกของชุดตัวเลขที่ดูจะมองเห็นได้:

ก้น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกซึ่งเท่ากับ 1 เครื่องหมายของงานเท่ากับ 3 เรารู้ผลรวมของแปดเทอมแรก

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

แนวคิดเรื่องลำดับตัวเลข

วิเซนเนีย 2

การแปลงชุดตัวเลขธรรมชาติเป็นจำนวนจริงที่ไม่มีตัวตนเรียกว่าลำดับตัวเลข: $f:N→R$

ลำดับตัวเลขแสดงไว้ดังนี้:

$(p_k )=(p_1,p_2,…,p_k,…)$

โดยที่ $p_1,p_2,…,p_k,…$ เป็นตัวเลขที่ใช้งานอยู่

มีสามวิธีในการป้อนลำดับตัวเลข มาอธิบายพวกเขากันดีกว่า

วิเคราะห์

ในวิธีนี้ ลำดับจะถูกระบุในรูปแบบของสูตร ซึ่งคุณสามารถค้นหาสมาชิกใดๆ ของลำดับนี้ โดยแทนที่จำนวนธรรมชาติที่แปรผันได้

กำเริบ.

วิธีสร้างลำดับนี้สามารถทำได้ทันที โดยให้สมาชิกตัวแรก (หรือจำนวนแรก) ของลำดับ จากนั้นจึงกำหนดสูตรที่เชื่อมโยงสมาชิกแต่ละคนกับสมาชิกนำหน้าหรือสมาชิกนำหน้า

วาจา

ด้วยวิธีนี้ จึงสามารถอธิบายลำดับตัวเลขได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องมีสูตรใดๆ

ลำดับตัวเลขที่อยู่ติดกันสองประเภทคือการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

วิเซนเซนย่า 3

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่าลำดับซึ่งมีการอธิบายด้วยวาจาดังต่อไปนี้: ให้หมายเลขแรก ผิวหนังของเท้าจะถูกระบุเป็นจำนวนแรกที่ให้ไว้ล่วงหน้าด้วยตัวเลขเฉพาะ $d$

ซึ่งได้รับล่วงหน้าจำนวนที่เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

$p_1,p_(k+1)=p_k+d.$

ความเคารพ 1

เป็นสิ่งสำคัญที่เราจะจัดประเภทความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นความก้าวหน้าคงที่ ซึ่งผลต่างในความก้าวหน้าจะเท่ากับศูนย์

เพื่อระบุความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์ความคืบหน้าจะแสดงบนซัง:

$p_k=p_1+(k-1)d$

$S_k=\frac((p_1+p_k)k)(2)$ หรือ $S_k=\frac((2p_1+(k-1)d)k)(2) $

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีสิ่งที่เรียกว่ากำลังเฉพาะซึ่งระบุโดยสูตร:

$p_k=\frac(p_(k-1)+p_(k+1))(2)$

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

วิเซนเซนย่า 4

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเรียกว่าลำดับซึ่งอธิบายด้วยวาจาตามลำดับถัดไป: ตัวเลขแรกถูกกำหนดไว้ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ ผิวหนังของเท้าถูกระบุเป็นรายได้ของรายได้ก่อนหน้านี้ที่ให้ไว้ล่วงหน้าด้วยตัวเลขเฉพาะที่ไม่ใช่ศูนย์ $q$

โดยให้ตัวเลขที่กำหนดไว้ล่วงหน้าและเรียกว่าสัญลักษณ์ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

แน่นอนว่าลำดับนี้สามารถเขียนซ้ำๆ ตามลำดับที่เกิดขึ้นได้:

$p_1≠0,p_(k+1)=p_k q,q≠0$.

ความเคารพ 2

เป็นสิ่งสำคัญที่เราเรียกมันว่ารูปแบบของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เนื่องจากสัญลักษณ์ของความก้าวหน้าเป็นหน่วยดั้งเดิม

เพื่อระบุความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์ที่ก้าวหน้าจะปรากฏบนซัง:

จากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำของลำดับนี้ ง่ายต่อการหาสูตรสำหรับค้นหาสมาชิกใดๆ จากลำดับแรก:

$p_k=p_1 q^((k-1))$

ผลรวมของเทอมแรก $k$ สามารถหาได้โดยใช้สูตร

$S_k=\frac(p_k q-p_1)(q-1)$ หรือ $S_k=\frac(p_1 (q^k-1))(q-1)$

วอห์นเป็นเรขาคณิต

แน่นอนว่าเป็นสัญญาณของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้

$q=\frac(9)(3)=3$

จากนั้น เมื่อใช้สูตรอื่น ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะถูกอนุมานได้:

$S_5=\frac(3\cdot (3^5-1))(3-1)=363$

จำนวนมรดก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ตามจำนวนธรรมชาติของผิว nจัดส่งถึงวันที่จำนวน เอ็กซ์nก็ดูเหมือนว่าจะได้รับ ลำดับตัวเลข เอ็กซ์ 1, เอ็กซ์ 2, …, เอ็กซ์n, ….

การกำหนดลำดับตัวเลข {เอ็กซ์ n } .

ที่เบอร์นี้ เอ็กซ์ 1, เอ็กซ์ 2, …, เอ็กซ์n, ... ถูกเรียกว่า สมาชิกของลำดับ .

วิธีการพื้นฐานในการป้อนลำดับตัวเลข

1. หนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดลำดับ สูตรของสมาชิกที่นอนหลับ : เอ็กซ์n = ฉ(n), n Î เอ็น.

ตัวอย่างเช่น, เอ็กซ์n = n 2 + 2n+ 3 Þ เอ็กซ์ 1 = 6, เอ็กซ์ 2 = 11, เอ็กซ์ 3 = 18, เอ็กซ์ 4 = 27, …

2. โดยไม่ต้องมีประกันกลางทาง จำนวนสุดท้ายของสมาชิกคนแรก

ตัวอย่างเช่น https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ นั่นคือสูตรที่แสดงพจน์ n ผ่านสมาชิกหน้าหนึ่งหรือหลายตัว

ตัวอย่างเช่น, ลำดับฟีโบนัชชีเรียกว่าลำดับของตัวเลข

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ซึ่งคำนวณแบบวนซ้ำ:

เอ็กซ์ 1 = 1, เอ็กซ์ 2 = 1, เอ็กซ์n+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในลำดับ

1. กระเป๋า(ศักดิ์สิทธิ์) ลำดับ ( กn) ที่ ( พันล้าน CN } = { หนึ่ง ± พันล้าน}.

2. ผู้สร้างลำดับ ( กn) ที่ ( พันล้าน) เรียกว่าลำดับ ( CN } = { หนึ่ง× พันล้าน}.

3. มาเก็บไว้เป็นส่วนตัวกันเถอะลำดับ ( กn) ที่ ( พันล้าน }, พันล้าน¹ 0 เรียกว่าลำดับ ( CN } = { หนึ่ง×/ พันล้าน}.

พลังของลำดับตัวเลข

1. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก สัตว์มีฝอย ม nความไม่ยุติธรรมคือความยุติธรรม เอ็กซ์n £ ม.

2. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ล้อมรอบที่ด้านล่างตัวเลขที่มีประสิทธิผลเช่นนี้หมายถึงอะไร? มความหมายของธรรมชาติทั้งหมดคืออะไร nความไม่ยุติธรรมคือความยุติธรรม เอ็กซ์n ³ ม.

3. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก การเจริญเติบโต nความไม่ยุติธรรมคือความยุติธรรม เอ็กซ์n < เอ็กซ์n+1.

4. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ลดลงเพื่อคุณค่าทางธรรมชาติทั้งหมด nความไม่ยุติธรรมคือความยุติธรรม เอ็กซ์n > เอ็กซ์n+1.

5. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ยังไม่บรรลุนิติภาวะเพื่อคุณค่าทางธรรมชาติทั้งหมด nความไม่ยุติธรรมคือความยุติธรรม เอ็กซ์n ³ เอ็กซ์n+1.

6. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ไม่ตกเพื่อคุณค่าทางธรรมชาติทั้งหมด nความไม่ยุติธรรมคือความยุติธรรม เอ็กซ์n £ เอ็กซ์n+1.

ลำดับที่เจริญ เสื่อมถอย ไม่เจริญ เรียกว่าไม่รู้ลืม ซ้ำซากจำเจลำดับซึ่งการเติบโตและการลดลง - ซูโวโร น่าเบื่อ.

เทคนิคพื้นฐานที่ควรหลีกเลี่ยงเมื่อตรวจสอบลำดับความซ้ำซากจำเจ

1. วิโคริสทันยา วิชนาเชนเนีย

ก) สำหรับการติดตามผลเพิ่มเติม ( เอ็กซ์n) มีความแตกต่าง

เอ็กซ์n – เอ็กซ์n+1 และจะมีการอธิบายเพิ่มเติมว่าความแตกต่างนี้ยังคงมีเครื่องหมายคงที่อยู่ใต้ค่าใดๆ n Î เอ็นและถ้าเป็นเช่นนั้นก็เป็นเช่นนั้น สิ่งสำคัญคือต้องคำนึงถึงความซ้ำซากจำเจ (ความไม่ซ้ำซากจำเจ) ของลำดับ

b) สำหรับลำดับสัญญาณ ( เอ็กซ์n) สามารถแก้ไขได้ เอ็กซ์n+1/เอ็กซ์nและเทียบเคียงกับหนึ่ง

คุณค่าสำหรับทุกคนคืออะไร? nมากกว่าหนึ่ง ดังนั้นสำหรับลำดับเชิงบวกอย่างเคร่งครัด เราควรทำงานอีกครั้งเกี่ยวกับการเติบโตของมัน และสำหรับลำดับเชิงลบอย่างเคร่งครัด เห็นได้ชัดว่าเกี่ยวกับการลดลงของมัน

คุณค่าสำหรับทุกคนคืออะไร? nไม่น้อยกว่าหนึ่งลำดับ ดังนั้นสำหรับลำดับเชิงบวกอย่างเคร่งครัด เราควรจะดำเนินการอีกครั้งเกี่ยวกับความไม่เปลี่ยนรูปของมัน และสำหรับลำดับเชิงลบอย่างเคร่งครัด เห็นได้ชัดว่าเกี่ยวกับการไม่เติบโต

เบอร์นี้ราคาเท่าไหร่คะ? nมากกว่าหนึ่ง และสำหรับตัวเลขอื่นๆ nน้อยกว่าหนึ่ง ดังนั้นเราสามารถพูดถึงธรรมชาติของลำดับที่ไม่ซ้ำซากได้

2. ไปที่ฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์การกระทำ

อย่าลืมตรวจสอบความซ้ำซากจำเจในลำดับตัวเลข

กn = ฉ(n), n Î เอ็น.

ให้เราแนะนำฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์การกระทำ เอ็กซ์:

ฉ(เอ็กซ์) = ก(เอ็กซ์), เอ็กซ์ลูกบาศก์ 1,

และเราติดตามมันไปสู่ความซ้ำซากจำเจ

หากฟังก์ชันถูกสร้างความแตกต่างตามช่วงเวลา เราก็สามารถค้นหาความคล้ายคลึงของมันและติดตามเครื่องหมายได้

ทันทีที่เป็นบวก ฟังก์ชันก็จะเติบโตขึ้น

หากพฤติกรรมเป็นลบ ฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป

โดยการเปลี่ยนไปใช้ค่าธรรมชาติของการโต้แย้ง ผลลัพธ์จะถูกขยายไปยังลำดับสุดท้าย

ตัวเลข กเรียกว่า ขอบเขตของลำดับ เอ็กซ์nเพราะสำหรับจำนวนบวกเล็กๆ จำนวนใดๆ e ก็จะมีจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น เอ็นแล้วทุกห้องล่ะ n > เอ็นวิโคนาโนกังวลใจ | xn – ก | < e.

การคำนวณซูมิ n สมาชิกตัวแรกของลำดับ

1. การส่งสมาชิกส่วนหน้าของลำดับในลักษณะที่ปรากฏของความแตกต่างระหว่างสองนิพจน์หรือหลายนิพจน์ในลักษณะที่เมื่อทดแทน การเพิ่มเติมระดับกลางส่วนใหญ่จะสั้นลง และผลรวมจะถูกล้างทั้งหมด

2. ในการตรวจสอบและพิสูจน์สูตรที่ชัดเจนอยู่แล้วในการหาผลรวมของเทอมแรกของลำดับ สามารถใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้

3. งานสามารถดำเนินการตามลำดับผ่านการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

วิธีการแก้ไขปัญหาเบื้องต้นเพื่อความก้าวหน้า

1. หนึ่งในวิธีการเติบโตที่ทันสมัยที่สุด ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สำหรับผู้ที่เกี่ยวข้องกับจิตใจของสมาชิกที่สำคัญที่สุดของความก้าวหน้าจะแสดงออกผ่านความแตกต่างของความก้าวหน้า ง ก งі ก 1.

2. ขยายวงกว้างและคำนึงถึงวิธีการแก้ปัญหามาตรฐาน ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งคิดอยู่ในจิตใจของปรมาจารย์แสดงออกมาผ่านสัญลักษณ์ของความก้าวหน้า ถามและสมาชิกทุกคนของเขา ส่วนใหญ่มักจะเป็นคนแรก ข 1. ละจิตของโลกไป ระบบที่มีสิ่งไม่รู้เกิดขึ้นและเกิดขึ้น ถามі ข 1.

ซราซกี้กำลังแก้ปัญหา

ซาฟดันเนีย 1 .

ลำดับที่ระบุ เอ็กซ์n = 4n(n 2 + 1) – (6n 2+1) รู้ผลรวม สอันดับแรก nสมาชิกของลำดับนี้

การตัดสินใจ- viraz ที่ละลายน้ำได้สำหรับสมาชิกทางกฎหมายของลำดับ:

เอ็กซ์n = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

ส = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

ซาฟดันเนีย 2 .

ลำดับที่ระบุ กn = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

ซวิดซี ก(3n + 5) +บี(3n + 2) = 1,

(3ก + 3บี)n + (5ก + 2บี) = 1.

n.

n 1 | 3ก + 3บี = 0,

n0 | 5 ก + 2บี = 1.

ก = 1/3, ยู = –1/3.

ในลักษณะนี้ https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197". " width="39" height="41 src="> กn- หมายเลข 1980 เป็นสมาชิกของลำดับนี้หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นตัวเลขก็มีความสำคัญ

การตัดสินใจ- วิปิเสโมก่อน nสมาชิกของลำดับนี้:

ก 1 = 2 https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> . กิฟ" width="93" height="41">.

คูณด้วยความเท่าเทียมกัน:

ก 1ก 2ก 3ก 4ก 5…หนึ่ง-2หนึ่ง-1หนึ่ง = ก 1ก 2ก 3ก 4ก 5…หนึ่ง-2หนึ่ง-1.

ซวิดซี หนึ่ง = n(n + 1).

โทดี, 1980= n(n+ 1) n 2 + n- 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 โอ เอ็น.

เรื่อง:ดังนั้น, n = 44.

ซาฟดันเนีย 4 .

รู้ผลรวม ส = ก 1 + ก 2 + ก 3 + … + กnตัวเลข ก 1, ก 2, ก 3, …,กnเช่นอะไรก็ได้ที่เป็นธรรมชาติ nตอบสนองความอิจฉา ส = ก 1 + 2ก 2 + 3ก 3 + … + nกn = .

การตัดสินใจ. ส 1 = ก 1 = 2/3.

สำหรับ n > 1, น่าน = ส – ส-1 = - https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

ซวิดซี =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

ก(n + 1)(n + 2) + บีเอ็น(n + 2) + ซีเอ็น(n + 1) = 1

(ก + บี + ค)n 2 + (3ก + 2บี + ค)n + 2ก = 1,

เท่ากับสัมประสิทธิ์ในระยะเดียวกัน n.

n 2 | ก + บี + ค= 0,

n 1 | 3ก + 2บี+ ค = 0,

n0 | 2 ก = 1.

เป็นไปได้มากว่าฉันจะปฏิเสธระบบ ฉันจะปฏิเสธมัน ก = 1/2, ยู= -1, ค = 1/2

โอ้, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

เดอ , n > 1,

ส¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

ส¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

ส = ก 1 + ก 2 + ก 3 + … + กn = ก 1 +=

=ก 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

ซาฟดันเนีย 5 .

ค้นหาสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของลำดับ .

การตัดสินใจ- เราเห็นด้วย พันล้าน = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Persh nіzh mi virіshuvati งานเพื่อความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรามาดูกันว่าลำดับตัวเลขคืออะไร ซึ่งเป็นส่วนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และนี่คือขั้นตอนต่อไปในลำดับตัวเลข

ลำดับตัวเลขคือการคูณตัวเลข แต่ละองค์ประกอบของสกินมีหมายเลขซีเรียลของตัวเอง- องค์ประกอบของหลายหลากนี้เรียกว่าสมาชิกของลำดับ หมายเลขซีเรียลขององค์ประกอบลำดับถูกระบุโดยดัชนี:

องค์ประกอบแรกของลำดับ

องค์ประกอบที่ห้าของลำดับ

- “ส่วนสุดท้าย” องค์ประกอบของลำดับแล้ว องค์ประกอบ “ยืนอยู่ที่จุดสิ้นสุด” ใต้หมายเลข n

ระหว่างค่าขององค์ประกอบลำดับและหมายเลขลำดับจะมีเหตุการณ์พื้นฐานเกิดขึ้น จากนั้นเราสามารถนึกถึงลำดับเป็นฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นเลขลำดับขององค์ประกอบลำดับ ดังนั้นคุณสามารถพูดแบบนั้นได้ ลำดับเป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งตามธรรมชาติ:

ลำดับสามารถระบุได้สามวิธี:

1 . ลำดับสามารถวางไว้หลังโต๊ะอื่นได้สำหรับประเภทนี้ เราเพียงแค่ตั้งค่าของสมาชิกสกินของลำดับ

ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการมีส่วนร่วมในการจัดการเวลาพิเศษ และเริ่มคิดว่าคุณใช้เวลากี่ชั่วโมงใน VKontakte เมื่อบันทึกชั่วโมงในตาราง คุณจะเห็นลำดับซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบเจ็ดรายการ:

แถวแรกของตารางแสดงจำนวนวันในปี ส่วนอีกแถวแสดงชั่วโมงของปี Mi bachimo ว่าในวันจันทร์มี 125 khvilins บน VKontakte จากนั้นในวันพฤหัสบดี - 248 khvilins และในวันศุกร์มีเพียง 15 khvilins

2 . ลำดับสามารถวางหลังสูตรเพิ่มเติมของเทอมที่ n ได้

และความสำคัญขององค์ประกอบลำดับจากหมายเลขจะแสดงเป็นสูตรโดยตรง

ตัวอย่างเช่น ถ้า

หากต้องการค้นหาค่าขององค์ประกอบลำดับด้วยตัวเลขที่กำหนด จำนวนขององค์ประกอบจะแสดงด้วยสูตรของเทอมที่ n

เรายังจำเป็นต้องรู้ความหมายของฟังก์ชันที่ดูเหมือนจะหมายถึงอาร์กิวเมนต์ด้วย ค่าของอาร์กิวเมนต์จะแสดงแทนฟังก์ชันที่เท่ากัน:

ตัวอย่างเช่น, , ที่

ผมจะซาบซึ้งอีกครั้งว่าตามลำดับ ในรูปแบบของฟังก์ชันตัวเลขที่เพียงพอ อาร์กิวเมนต์สามารถเป็นได้เพียงจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

3 - ลำดับสามารถตั้งค่าได้หลังจากสูตรเพิ่มเติมที่แสดงตำแหน่งของค่าของสมาชิกของลำดับด้วยหมายเลข n จากค่าของสมาชิกส่วนหน้า ในกรณีนี้ การทราบจำนวนสมาชิกของลำดับเพื่อทราบค่าของมันนั้นไม่เพียงพอ เราจำเป็นต้องแทรกสมาชิกตัวแรกหรือสมาชิกตัวแรกของลำดับ

ตัวอย่างเช่นเรามาดูลำดับกัน ,

เราสามารถค้นหาความหมายของสมาชิกในลำดับได้ ทีละคนเริ่มจากตัวที่สาม:

ทีนี้เพื่อที่จะทราบค่าของเทอมที่ n ของลำดับ เราจะหมุนไปที่สองตัวหน้า วิธีการระบุลำดับนี้เรียกว่า กำเริบประเภทของคำภาษาละติน เกิดขึ้นอีก- หันหลังกลับ

ตอนนี้เราสามารถเพิ่มมูลค่าให้กับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้แล้ว ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นความก้าวหน้าอย่างง่ายของลำดับตัวเลข

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เรียกว่าลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเมื่อเริ่มต้นจากอีกลำดับหนึ่งจะเท่ากับลำดับก่อนหน้าบวกเข้ากับหมายเลขเดียวกัน

เบอร์นั้นเรียกว่า ความแตกต่างในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- ความแตกต่างในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นค่าบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์

Yakscho title="d>0"">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} !} การเจริญเติบโต.

ตัวอย่างเช่น 2; 5; 8; สิบเอ็ด;...

เป็นผลให้ระยะผิวหนังของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้นมีขนาดเล็กกว่าด้านหลังด้านหน้า และความก้าวหน้าคือ ลดลง.

ตัวอย่างเช่น 2; -1; -4; -7;...

หากเป็นเช่นนั้น สมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าจะตรงกับหมายเลขเดียวกันและความก้าวหน้า เครื่องเขียน.

เช่น 2;2;2;2;...

พลังหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

มาประหลาดใจกับเด็กน้อยกันเถอะ

มิ บาชิโม, สโช

, ในเวลาเดียวกัน

เมื่อยอมรับความกระตือรือร้นทั้งสองนี้แล้ว เราก็ปฏิเสธ:

.

เราแบ่งส่วนที่น่ารังเกียจของความอิจฉาออกเป็น 2:

สมาชิกทุกคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากที่อื่น มีความคล้ายคลึงกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเพื่อนบ้านทั้งสอง:

นอกจากนั้นยังมีเศษชิ้นส่วน

, ในเวลาเดียวกัน

, ที่

, และดี,

สมาชิก Kozhen ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มต้นด้วย title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}!}

สูตรของเทอมที่ 3

เราเชื่อว่าสำหรับสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สรุปความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

และในที่สุดก็,

เราถูกพาตัวไป สูตรของเทอมที่ n

สำคัญ!สมาชิกใดๆ ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงผ่าน i เมื่อทราบเทอมแรกและความแตกต่างในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถหาคำศัพท์ได้

ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลรวมของสมาชิกที่อยู่ห่างจากสุดขั้วเท่ากันจะเท่ากัน:

มาดูความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของสมาชิกทุก ๆ n คนกัน ให้ผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้านี้ดำเนินต่อไป

เราขยายเงื่อนไขของความก้าวหน้าก่อนตามลำดับจำนวนที่เพิ่มขึ้น และจากนั้นตามลำดับการเปลี่ยนแปลง:

พับเป็นคู่:

ขนาดส่วนโค้งของผิวหนังโบราณ จำนวนคู่ โบราณ n

เพิกเฉย:

โอตเจ, ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

มาดูกันดีกว่า งานเพื่อความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

1 . ลำดับได้มาจากสูตรของเทอมที่ n: . จงแสดงว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เห็นได้ชัดว่าความแตกต่างระหว่างสมาชิกศาลสองคนนั้นสอดคล้องกับจำนวนที่เท่ากัน

เราสันนิษฐานว่าความแตกต่างระหว่างสองพจน์ของลำดับไม่ได้อยู่ภายใต้จำนวนเดียวกันและเป็นค่าคงที่ ดังนั้น ลำดับนี้จึงเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

2 . เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -31; -27;

ก) ค้นหาเงื่อนไขความก้าวหน้า 31 ข้อ

b) หมายความว่าคุณเข้าสู่ความก้าวหน้าหมายเลข 41

ก)มิบาชิโม, scho;

ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้ากัน

อย่างบ้าคลั่ง

สู่วิปัสกาของเรา ที่